今年五月中旬，OpenAI 宣布其內部 AI 模型成功推翻了「埃爾德什單位距離猜想」，這個著名的離散幾何問題已困擾人類數學家長達80年。OpenAI 讓幾位數學家提前接觸了這項成果，並公布了他們的回應。曾獲數學界最高榮譽費爾茲獎的 Tim Gowers 寫道：「毫無疑問，單位距離問題的解決是 AI 數學領域的一個里程碑。」

多倫多大學教授 Daniel Litt 則表示：「這是 AI 自主產生結果中，第一個讓我感到興奮的例子，而不僅僅是一個領先指標。」這可以說是 AI 系統首次找到解決重大懸而未決猜想的證明。這令人印象深刻，但我認為這並非與 AI 在數學領域的既有進展軌跡有根本性的突破。

三年前，大型語言模型（LLM）在解決算術問題上仍舉步維艱。直到去年，LLM 才開始在高中數學競賽中取得優異成績。今年一月，我參加了全球最大的年度數學會議「聯合數學會議」，當時我了解到 AI 系統已開始為數學研究做出貢獻，但僅限於受限的環境。

要將 AI 的輸出轉化為可發表的定理，仍需要大量的人工解讀。OpenAI 的新成果是這一進程的下一步。該 AI 模型巧妙地應用了來自多個數學子領域的現有概念，創建了一個完整的證明。但它並未開創任何真正的新技術。此成果隨後已由人類數學家進行了「整理」和「擴展」。

這預示著一個中期未來，人類數學家和 AI 模型將相輔相成：AI 擁有比任何在世人類更廣泛的過往研究知識，也更願意鑽研那些不太可能成功的繁瑣證明策略。但人類仍然可以更深入地思考任何一個問題，並提出更有趣的問題。這種情況可能不會持續太久。AI 系統在數學方面的進步如此迅速，以至於十年後人類數學家將扮演什麼角色（如果有的話）尚不明朗。

Paul Erdős 是歷史上最多產的數學家之一。他一生發表了超過1,500篇論文，數量之最。他最偉大的才能之一是提出那些陳述簡單但根源深遠的問題。1946年，他提出了「單位距離問題」。想像你在一個二維平面上有幾個點，並測量每對點之間的距離：在此圖中，有五個點和十對點。

其中三對恰好相距一個單位：AD、BE 和 CE。我們能否重新排列這些點，使更多對點恰好相距一個單位？是的。例如，我們可以將點 A 和 D 移近 B、C 和 E 的群組。再多花點功夫，我們可以進一步重新排列這些點，使七對點恰好相距一個單位。但這是我們能做到的極限。

我們可以對6個點、7個點等進行相同的分析。但隨著點的數量增加，問題很快就變得過於複雜，無法找到確切答案。因此，Erdős 並沒有詢問給定點數下可能有多少個單位距離，而是試圖計算 n 個點（假設 n 是一個大數）的單位長度線數量的上限和下限。

為了幫助計算下限，Erdős 假設這些點將以網格形式排列。這可能不是最佳佈局，但如果他能證明網格中的點具有一定數量的單位距離對，那麼最佳佈局至少必須具有該數量。最簡單的選項是將網格間距設置為每個點與其正上方、正下方、左側和右側的鄰居相距1個單位。

然而，Erdős 發現如果考慮對角線，可以做得更好。如果將網格間距縮小，可以使每個點與更多鄰居相距1個單位。在上圖中，如果網格間距為1，則每個點與四個鄰居相距一個單位（左圖）。相反，如果網格間距為 ⅕（如右圖所示），則每個點與12個鄰居相距一個單位：OpenAI 對其新成果的說明中包含一張令人困惑的圖表，顯示了網格中的點以及連接它們的一堆線。

如果我們疊加一個像這樣的圓圈，圖表就更容易理解了：這之所以有效，是因為畢氏定理指出，如果我們有一個點在另一個點的右邊 a 個單位、上方 b 個單位，則這兩個點之間的距離 c 滿足 a² + b² = c²。訣竅是選擇一個 c²，使得有許多整數對 a 和 b 滿足 a² + b² = c²。

然後，如果我們將網格縮小，使每個點與其鄰居相距 1/c，就會產生許多單位距離。例如，如果我們選擇 c² = 25，那麼畢氏方程式可以由 0² + 5² = 25 或 3² + 4² = 25 滿足。這對應於我之前展示的12個網格點圓，點位於 (0,5)、(3,4)、(4,3)、(5,0)、(-4,3)、(-3,4) 等等。

（嚴格來說，這些長度都應該除以5——例如 (⅗, ⅘)——但我為了清晰起見省略了分母。）OpenAI 的圖表基於選擇 c² = 65，這可以由 1² + 8² = 65 或 4² + 7² = 65 滿足。這意味著如果網格間距為 1/√65，每個點將與其他16個點相距一個單位：(1,8)、(4,7)、(7,4)、(8,1)、(-1,8)、(-4,7) 等等。

更大的 c² 值——如果選擇得當——可以實現更多的整數對角線，從而產生更多的單位距離對。然而，如果 c² 相對於網格中的點數太大，那麼許多潛在的單位距離鄰居將位於網格之外。簡而言之，我們希望選擇一個足夠大但又不過大的 c²。利用數論的見解，包括「雅可比二平方和定理」，Erdős 能夠證明一個最佳大小的圓將使單位距離對的數量增長速度略快於點的數量，但僅僅是略快。

問題變成了「你能做得更好嗎？」為了找到上限，Erdős 使用了來自一個截然不同的數學領域——圖論——的論證，來證明單位距離的數量只能達到某個程度。但他的上限增長速度遠遠快於他所能構建的最佳下限。Erdős 的猜想是，實際的最佳值更接近下限而非上限。

他預測，但無法證明，最大單位距離對的數量增長速度僅僅略快於點的數量。更精確地說，Erdős 猜想單位距離的數量將是 n 的 (1+o(1)) 次方。換句話說，對於足夠大的 n，最大單位距離的數量將小於 n 的 (1+𝜖) 次方，對於任何 𝜖 > 0 而言。